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제   목  
단순보에 집중하중이 작용할 때 보의 처짐식
[ 2019-11-24 21:08:38 ]
글쓴이  
metalheart
조회수: 5528        

그림과 같이 길이가 L (m) 인 단순보에 집중하중 P (kN) 이 작용할 때 보의 처짐량 vx (mm) 을 구한다.
P 의 작용위치가 A 지점에서 Lp (m) 라면, A 지점에서의 반력은 RA = P*(L-Lp)/L 가 되고, B 지점에서의 반력은 RB = P*Lp/L 이 된다.
A 지점을 원점으로하여 x (m) 만큼 떨어진 위치에서 모멘트 Mx (kN-m) 를 구하면,
x ≤ Lp 일 때, Mx = RA*x = (P/L)*(L-Lp)*x
Lp ≤ x 일 때, Mx = RB*(L-x) = (P*Lp/L)*(L-x)
가 된다.

E*I*v″= Mx 의 관계가 있으므로, 이를 두 번 적분하면,
x ≤ Lp 일 때,
E*I*v = (P/L)*(L-Lp)∬x dx
     = (P/L)*(L-Lp)∫(1/2)*x^2 + C1 dx
     = (P/L)*(L-Lp)*((1/6)*x^3 + C1*x + C2)
x = 0 에서 vx = 0 이므로, C2 = 0
E*I*v = (P/L)*(L-Lp)*((1/6)*x^3 + C1*x)
이 되고,
Lp ≤ x 일 때,
E*I*v = (P*Lp/L)∬L-x dx
     = (P*Lp/L)∫L*x - (1/2)*x^2 + C3 dx
     = (P*Lp/L)*((L/2)*x^2 - (1/6)*x^3 + C3*x + C4)
x = L 에서 vx = 0 이므로, C4 = -C3*L - (1/3)*L^3
E*I*v = -(P*Lp/L)*((L/2)*x^2 - (1/6)*x^3 + C3*x - C3*L - (1/3)*L^3)
이 된다.

x = Lp 에서, 기울기가 같으므로,
(P/L)*(L-Lp)*((1/2)*x^2 + C1) = (P*Lp/L)*(L*x - (1/2)*x^2 + C3)
(L-Lp)*((1/2)*Lp^2 + C1) = Lp*(L*Lp - (1/2)*Lp^2 + C3)
C1*(L-Lp) = L*Lp^2 - (1/2)Lp^3 + C3*Lp - (1/2)L*Lp^2 + (1/2)Lp^3
① C1*(L-Lp) = C3*Lp + (1/2)L*Lp^2
이 되고, x = Lp 에서, 처짐량이 같으므로,
(L-Lp)*((1/6)*Lp^3 + C1*Lp) = Lp*((L/2)*Lp^2 - (1/6)*Lp^3 + C3*Lp - C3*L - (1/3)*L^3 )
(L-Lp)*(Lp^2 + 6*C1) = 3*L*Lp^2 - Lp^3 + 6*C3*Lp - 6*C3*L - 2*L^3
6*C1*(L-Lp) = 3*L*Lp^2 - Lp^3 + 6*C3*Lp - 6*C3*L - 2*L^3 - L*Lp^2 + Lp^3
6*C1*(L-Lp) = 2*L*Lp^2 + 6*C3*Lp - 6*C3*L - 2*L^3
3*C1*(L-Lp) = -3*C3*(L-Lp) + L*Lp^2 - L^3
이 된다.
여기에, ① 을 대입하면,
3*C3*Lp + (3/2)L*Lp^2 = -3*C3*(L-Lp) + L*Lp^2 - L^3
3*C3*L = -(1/2)L*Lp^2 - L^3
C3 = -(1/6)Lp^2 - (1/3)L^2
이를 ① 에 대입하면,
C1*(L-Lp) = -(1/6)*Lp^3 - (1/3)L^2*Lp + (1/2)L*Lp^2
C1*(L-Lp) = (1/6)*Lp*(- Lp^2 - 2*L^2 + 3*L*Lp)
C1*(L-Lp) = (1/6)*Lp*(L-Lp)(Lp-2L)
C1 = (1/6)*Lp(Lp-2L)
이다.

C4 = -C3*L - (1/3)*L^3 이므로,
C4 = (1/6)L*Lp^2 + (1/3)L^3 - (1/3)L^3 = (1/6)L*Lp^2

따라서, 구간별 v 는 다음과 같다.

x ≤ Lp 일 때,
vx = (P/(EIL))*(L-Lp)*((1/6)*x^3 + (1/6)*Lp(Lp-2L)*x)
  = (P*x/(6EIL))*(L-Lp)*(x^2 + Lp^2 - 2*L*Lp)

Lp ≤ x 일 때,
vx = (P*Lp/(EIL))*((L/2)*x^2 - (1/6)*x^3 + C3*x + C4)
  = (P*Lp/(EIL))*((L/2)*x^2 - (1/6)*x^3 - (1/6)Lp^2*x - (1/3)L^2*x + (1/6)L*Lp^2)
  = (P*Lp/(6EIL))*(3*L*x^2 - x^3 - Lp^2*x - 2*L^2*x + L*Lp^2)

한편, Lp = L/2, x = L/2 일 때, 처짐량이 최대가 된다.

x ≤ Lp 구간 식 적용,
vx = (P*x/(6EIL))*(L-Lp)*(x^2 + Lp^2 - 2*L*Lp)
  = (P/(12EI))*(L/2)*((1/4)L^2 + (1/4)L^2 - L^2)
  = -(P/(48EI))*L^3

Lp ≤ x 구간 식 적용,
vx = (P*Lp/(6EIL))*(3*L*x^2 - x^3 - Lp^2*x - 2*L^2*x + L*Lp^2)
  = (P/(12EI))*((3/4)*L^3 - (1/8)L^3 - (1/8)L^3 - L^3 + (1/4)L^3)
  = (P/(12EI))*((3/4)*L^3 - L^3)
  = -(P/(48EI))*L^3
guest1 하... 이걸... 눈알 빠질 듯.... 암튼 도움은 되네요. 
[2019-11-25 04:16:18]


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